Эрмитово сопряжение и транспонирование

Может возникнуть некоторая путаница между операторами " ' " и " .' ", пер­вый из которых сопрягает и транспонирует матрицу, а второй - только транс­понирует ее. Для вещественнозначных матриц действие обоих операторов эк­вивалентно и сводится к транспонированию. Различия начинают проявляться, когда эти операторы применяются в отношении матриц, содержащих комплекс­ные значения.

В случае комплекснозначных матриц, в результате эрмитова сопряжения матрицы Z посредством оператора " ' " получим матрицу A - Z', значения эле­ментов которой определяются выражением A_jk = X_kj- — iY_kj-, где X и Y - мат­рицы действительных и вещественных частей матрицы Z соответственно, a i - мнимая единица. При транспонировании без сопряжения, выполняемом с ис­пользованием оператора " . ' ", значения элементов результирующей матрицы ^Ajk = ^Xkj + i^Ykj.

В следующем примере операторы " ' " и " .' " применяются к асимметрич­ной комплекснозначной матрице, так что различия в их действии становятся очевидными.

-->А =   [1 2; 3 4]   + % i  *   [5  6;  7 8]

А =

1. + 5. i        2. + 6.i

3. + 7. i        4. + 8. i

 -->A '

ans =

1.  -  5.i        3. - 7.i

2.  -  6. i       4. -  8.i

-->A . '

ans =

1.  +  5. i     3.   +  7. i

2.  +  6. i        4.   + 8. i

Далее демонстрируется применение обоих операторов в случае вещественнозначной матрицы - результаты одинаковы:

-->В =   [1  2;   3 4]

 В =

1. 1.       2.

3.    4.

 -->В '

ans =

1. 1.       3.
2. 4.

         -->В .'

ans =

1. 1.       3.
2. 4.

Поскольку указанные различия часто становятся источником ошибок, необ­ходимо четко усвоить назначение каждого из операторов и применять оператор " .' " в случае, когда требуется только транспонирование (будь то веществен­ная или комплексная матрица), и оператор " ' " - когда необходимо выполнить транспонирование и сопряжение (данная операция получила название эрмитова сопряжения).